模範解答
問7
- 音速
問8
問9
問10
問11
問12
問13
問14
問15
解説記事一覧

模範解答

H31
問題番号	解答	関連項目
問7(a)	1	音波
問7(b)	1	波の性質、音波
問8	3	剛体のつり合い
問9	1	力のつり合い、抵抗を受ける運動
問10	5	円運動、力のつり合い
問11	2	摩擦力、慣性力、等加速度運動
問12	2	等加速度運動
問13	4	直流回路、ホイートストンブリッジ回路
問14	5	コンデンサー
問15(a)	5	電流の作る磁場
問15(b)	3	相互誘導、ファラデー電磁誘導の法則

問7

f:id:hikirou:20200526164207j:plain (a)問題文の通り丸暗記。

(b) 振動数 $f=20kHz$ 。音速Vは式に代入して

$331.5+15℃\times 0.6=340.5m/s$

したがって、波長は

$\lambda=\frac{V}{f}=\frac{340.5m/s}{20kHz}=17.0\times 10^{-3}m=1.7cm$

音速

音速 $a$ は流体力学を用いて

$a=\sqrt{(\frac{dp}{d\rho}_s}$

となる。sの下添え字は等エントロピー変化（高校物理でいう断熱過程。）でありポアソン式が成立するので

$a=\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho}}=\sqrt{\gamma RT}$

となる。

比熱比 $\gamma$ : 空気の場合1.40(高温で1.33など厳密には温度に依存）
気体定数R:高校物理出てて来る（普遍）気体定数 $8.3J/(kg\cdot K)$ とは異なるので注意。普遍気体定数を分子量 $m$ で除したものとなるので、気体の種類に依存する。空気の場合 $287J/(kg\cdot K)$ .

問題文中の近似式は、絶対温度Tをセ氏温度tに置き換え、(T=t+273を代入)t=0℃の周りで一次の近似、すなわち接線をひいたものである。

したがって、音速は温度の平方根に比例する形となる。

問8

f:id:hikirou:20200526164229j:plain 一様な物体のため、重量は面積に比例することがわかる。よって、（切り取られて残った側の重量）：（切り取られた側の重量）= $S-S_2 : S_2$ とわかる。重心周りのモーメントのつり合いより

$(S-S_2)\times x = S\times d \\ x=\frac{S_2}{S-S_2}d$

f:id:hikirou:20200526171217j:plain — 重心周りのモーメントのつり合い

問9

f:id:hikirou:20200526164248j:plain 油滴に働く空気抵抗の大きさを $f$ とすると力のつり合いより

$mg=f$

文中より

$f=krv$

また、質量について

$m=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho$

以上3式より

$v=\frac{4\pi r^3 g}{3k}\rho$

f:id:hikirou:20200526171253j:plain — 油滴に働く力

問10

f:id:hikirou:20200526164313j:plain 糸の張力をTとする。鉛直方向の運動方程式（力のつり合い）。※力のつり合い時は加速度0である。したがって力の釣り合の式は加速度0の場合の運動方程式と同値である。

$m\cdot 0=T cos\theta -mg$

また、水平方向について円運動の運動方程式

$m\frac{V^2}{R}=Tsin\theta$

以上2式よりTを消去して

f:id:hikirou:20200526171314j:plain — 球に働く力

$R=\frac{V^2}{gtan\theta}$

問11

f:id:hikirou:20200526164332j:plain (a) 平板と物体の間に働く摩擦力をf,垂直抗力を $N_2$ 、平板と床の間に働く垂直抗力を $N_1$ とする。平板と床の間には摩擦力が働かない。平板について水平方向の運動方程式

$Ma=F-f$

ここで物体について鉛直方向の力のつり合い

$mg=N_2$

摩擦力について

$f=\mu 'N_2$

より

$Ma=F-\mu 'mg$

f:id:hikirou:20200526171355j:plain — 各物体に働く力

(b)

距離を求める方法

平板の加速度について

$a=\frac{F-\mu ' mg}{M}$

物体の加速度をbとすると運動方程式は

$mb=f \\ \therefore b=\mu'g$

よって時間t経過したときの平板と物体が進む距離はそれぞれ

$x_a=\frac{1}{2}at^2 \\ x_b=\frac{1}{2}bt^2$

その差がlとなるので

$x_a-x_b=l=\frac{1}{2}(a-b)t^2 \\ t=\sqrt{\frac{2Ml}{F-(M+m)\mu'g}}$

慣性力を用いる方法

平板上の観測者で考える。平板は右側に加速度aで運動するため、小物体は左向きに慣性力 $ma$ を生じる。左向きを正として、小物体の加速度をb'として運動方程式を立てると

$mb'=ma-f \\ b'=a-\mu'g$

小物体は平板から見て左向きにlだけ進むので

$\frac{1}{2}bt^2=l \\ t=\sqrt{\frac{2l}{b}}\\ =\sqrt{\frac{2Ml}{F-\mu'(M+m)g}}$

f:id:hikirou:20200526171507j:plain — 平板上の観測者における、小物体に働く力

問12

f:id:hikirou:20200526164356j:plain

等加速度運動の式

$v^2-v_0^2=2ax$

に代入するだけ。

$a=-0.50m/s$

問13

f:id:hikirou:20200526164425j:plain まず下図のように、10Ωと20Ωの直列抵抗をまとめて30Ωの一つの抵抗に、可変抵抗Rと60Ωの並列抵抗をまとめて、R'の一つの抵抗とする。

f:id:hikirou:20200526171557j:plain — 回路図の簡素化

検流計に流れる電流は0となるため、R'、40Ωの抵抗を流れる電流は共通の $I_1$ 、30Ωと50Ωの抵抗を流れる電流は共通の $I_2$ となる。

抵抗R'と30Ωの抵抗の電圧（赤線と青線）は等しいので

$R'I_1=30I_2$

同様に

$40I_1=50I_2$

また回路全体についてキルヒホッフの法則より

$16V-30\Omega I_2-50\Omega I_2=0$

以上より

$I_1=0.25A \\ I_2=0.20A\\ R'=30\Omega \times \frac{I_2}{I_1}\\ =24\Omega$

よって、R'について並列抵抗の合成式

$\frac{1}{60}+\frac{1}{R}=\frac{1}{R'}\\ R=40\Omega$

f:id:hikirou:20200526171731j:plain — 回路図

f:id:hikirou:20200526172435j:plain — 並列抵抗の合成

問14

f:id:hikirou:20200526164450j:plain C1,C2に蓄えられた電荷のうち、Bの政局側に近いほうを正としてそれぞれ $q_1,q_2$ とする。

f:id:hikirou:20200526172458j:plain — スイッチをN側につけたときの回路の様子

本来ならば十分に充電され、コンデンサーの負極側の電位が、図でいう黒色の電位に低下するまで低下するが、途中で充電を切っているためそこまで下がりきらず、少し高い状態となっている。（青色で表現）。（このように、回路の問題において、等電位のところを同じ色の線で結ぶことは理解の助けとなる。例えば、素子（抵抗やコイル、コンデンサーなど）の両端が等電位の時は電流が流れない、逆もまた然り）。

このとき問題分より

$q_1+q_2=35\mu C$

次にスイッチをM側に切り替えた時を考える。この時、C1,C2に蓄えられた電荷を、図の向きを正としてそれぞれ $q_1',q_2'$ とする。（コンデンサーの問題ではどちらを正にとっても良いが、必ず定義しておかなければならない。+側の極版が電位が高いことになるからである。また極版の両サイドは必ず同じ大きさで正負が逆の電荷が蓄えられている。）