はじめに

特に他人と答え合わせしたり、パイロット入試問題集のようなもので解答を確認したわけではありません。多分大丈夫と思いますが、解答の利用は自己責任でよろしくお願いします。

はじめに
模範解答、関連分野
解説
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模範解答、関連分野

2020
問題番号	解答	関連単元
問7(a)	4	等加速度運動
問7(b)	3	エネルギー保存
問8	5	運動量と力積の関係
問9	5	単振動
問10	5	剛体のつり合い
問11(a)	2	ドップラー効果
問11(b)	3	ドップラー効果
問12	2	熱力学、機体の法則
問13	5	直流回路、キルヒホッフの法則
問14	3	電磁誘導の法則
問15(a)	2	過渡現象
問15(b)	5	コイル、コンデンサー

解説

問7

f:id:hikirou:20200525184412j:plain — 2020問7

正答は(a)が4,(b)が3。２次元の問題は二つの成分に分解して考えるのが基本である。鉛直(上向きを正に $y$ 軸をとる）方向は初速 $200m/s\times \frac{\sqrt{3}}{2}=173m/s$ で下向きに重力 $mg$ を受ける。よって、鉛直方向は下向き加速度 $g$ の等加速度運動を行う。(4)

f:id:hikirou:20200526114531j:plain — 速度の分解

また、等加速度運動の式より

$173m/s-9.8m/s^2 t=0$

$t=17.6s$

また、この物体には保存力である重力以外の力が働いていない。したがって、力学的エネルギーは保存される。よって、(3)

ちなみにこのとき水平方向には力を働いていないので等速運動を行う。

また鉛直方向の運動方程式は

$ma=-mg$

よって $a=-g$ 。上向きを正と取っているので、やはり下向きに大きさgの加速度が発生することが読み取れる。

このように力学の問題では「力を図示」「初期条件の確認」「運動方程式」ができればどのような問題でも原理上解くことが可能である。

等加速度運動

加速度　 $a(m/s^2)$ :単位時間当たりの速度増分
速度　 $v(m/s)$ ：単位時間あたりに進む距離
距離　 $x(m)$

それぞれについて $\Delta$ を変化量を意味する添え字、 $t$ を時間とすると（例えば $\Delta t$ は時間の変化量を表す） $v=\frac{\Delta x}{\Delta t},\ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ といった関係となる。

等加速度運動:加速度 $a$ が一定。速度は $v=v_0+at$ 、進んだ距離は $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ となる。
等速度運動（等速直線運動）:速度 $v=v_0$ で一定、すなわち加速度 $a=0$ 。よって距離は $x=v_0t$

重力加速度

物体が重力により鉛直方向（地面に垂直な方向）に受ける加速度。

$g=9.81(m/s^2)$

運動の3法則

古典力学（ニュートン力学）の基本原理。

慣性の法則：力[N]を受けない物体は静止もしくは等速度運動を行う。（静止している場合も「速度0」という等速度運動となっている。
運動方程式： $ma=F$ であらわされる。 $m(kg)$ は質量、 $a(m/s^2)$ は加速度、 $F(N)$ は力。質量とは物体の加速のされにくさを表し力は物体の運動を変える大きさを表している。地球から月に行ったときに変わらないものが質量、1/6になってしまうのが力（重量）である。ニュートン力学の中で最も重要。
作用反作用の力：二つの物体が互いに及ぼしあう作用と反作用は大きさが等しく、逆向きで２物体を結ぶ方向に働く。これにより運動方程式から運動量保存則などを導くことができる。

運動エネルギーと仕事の関係

運動エネルギー $K=\frac{1}{2}mv^2$ であらわされる。速度 $v$ で運動する物体が持つエネルギー。単位は $J=N\cdot m$
仕事 $W=F\cdot x$ 力Fがその力の方向に $x$ だけ動いたときに与えられるエネルギー。加えられたエネルギーは運動エネルギーや位置エネルギー、熱エネルギーなどに変換される。当然単位は運動エネルギーと同じ $J$

速度 $v_0$ で運動する物体に仕事 $W$ が加わって速度が $v_1$ に変化したときに以下の関係が成り立つ。これを運動エネルギーと仕事の関係という。

$\frac{1}{2}mv_0^2+W=\frac{1}{2}mv_1^2$

力学的エネルギー保存則

重力も当然ながら力なので「運動エネルギーと仕事の関係」がなりたつ。例えば高さ $h$ から物体を落とした時に、重力がする仕事は $mg\times h$ 。よって

$\frac{1}{2}m 0^2 + mgh = \frac{1}{2}m v^2,$

$v=\sqrt{2gh}$

これでもよいのだが力の中には保存力と呼ばれる、仕事が力の経路によらず最初の「位置」と最後の「位置」だけで決まるものが存在する。重力はこれに含まれる。詳しくは割愛するがこの性質に着目し、位置に依存する新しい関数を導入してうまい具合に保存力がする仕事を表したものが「位置エネルギー」というわけである。重力による位置エネルギーは基準点からの高さ（どこでもよい） $h$ を用いて $mgh$ であらわされる。物体に重力のみ働くとき運動エネルギーと位置エネルギーの和、すなわち力学的エネルギーが一定となる。これを「力学的エネルギー保存則」という。

$\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$

問8

f:id:hikirou:20200525185545j:plain 正答は(5)。板に平行な方向は速度一定であり、力が働いていないことがわかる。（ちなみにこのことから、摩擦力が発生していないこともわかる。）したがって力積も発生しないので、垂直な方向のみ考えればいい。板に垂直な成分について、板に向かう方向を正とすると球の速度は $10m/s\times \frac{1}{2}=50m/s$ から、反対方向の $-50m/s$ となっている。また板が受けた力積を $F\Delta t$ とすると、作用反作用の法則より、球は $-F\Delta t$ の力積を受ける。（※板に近づく方向を正としていることに注意）。したがって、運動量と力積の関係より

$10kg\times 50m/s - F\Delta t = 10kg\times (-50m/s) \\ \therefore F\Delta t = 1000N\cdot s$

f:id:hikirou:20200526114622j:plain — 衝突前後の様子

運動量と力積の関係

運動量： $p=mv$ 。質量と速度の積であらわされる量。
力積： $F\Delta t$ 。力と時間の積であらわされる量。物体に同じ力が働いていても作用する時間が長ければ長いほど、物体はより影響を受ける。

運動方程式

$ma=F$

について、両辺に $\Delta t$ をかける。

$ma \Delta t=F\Delta t$

また $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ より

$m\Delta v = F\Delta t$

ここで質量 $m$ は当然一定。したがって、 $m\Delta v= \Delta (mv) = \Delta p$

$\therefore \Delta p = F \Delta t$

となり、運動量の変化量が作用した $F\Delta t$ に等しいことが示された。

問9

f:id:hikirou:20200525232927j:plain — 2020問9

正答は(5)。問題文より質量 $m=\rho S a$ 、復元定数 $k=\rho S g$ 。よって、周期 $T$ は

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{a}{g}}$

物体に働く浮力

物体に働く浮力はアルキメデスの原理によって示される。すなわち、「物体が排除した体積」×液体の密度×重力加速度である。今回の問題の場合、

物体が排除した体積: $Sa$
液体の密度: $\rho$

なので、働く浮力は $Sa\times \rho \times g=\rho Sag$ である。

浮力に関しては別の解釈することも可能である。水深 $x$ での水圧について考察する。水深 $x$ で水面まで伸びる液柱を考える。

f:id:hikirou:20200526123459j:plain — 液柱に働く力

断面積は $\Delta S$ とする。底面には大気圧 $P_0$ と高さ $x$ の液柱の重量が働いており、その大きさは $F(x)=(P_0+\rho Sxg)\Delta S$ である。したがって水深 $x$ での圧力は

$P(x)=\frac{F(x)}{\Delta S}=P_0+\rho Sgx$

となる。

さてここで液中に物体を放り込み、深さhまで沈み込んだ時に発生する力について考えてみよう。物体の上面には大気圧 $P_0$ 、下面には水圧 $P(h)$ 、側面には大気圧や水圧が働いている。ここで側面についてはお互いに打ち消しあうので上面下面に働く圧力のみである。底面積を $S$ とすると、この物体に働く浮力fは

$f=P(h)S-P_0 S \\ =(P_0+\rho hg)S-P_0 S\\ =\rho hgS$

となり、アルキメデスの原理と等価な答を導き出すことができた。なお、この上向きの浮力fと釣り合っているのは物体の重量であり、

$mg=\rho hgS$

という関係が成り立っている。

f:id:hikirou:20200526123524j:plain — 液中の物体に働く力

単振動の運動方程式

単振動とは運動方程式が

$ma=-k(x-x_0)$

であらわされる運動をいう。 $k$ を復元定数という。 $x_0$ は振動の中心だが、入門レベルではたいてい0となっており、

$ma=-kx$

という形になっている場合が多い。これを変形すると

$a=-\frac{k}{m}x\equiv -\omega^2 x$

ここで導入した $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ は振動の角振動数と呼ばれるものであり、単振動を円運動に置き換えた場合に単位時間あたりに進む角度である。一周は $2\pi(rad)$ なので、周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ となる。今回の問題の場合、加速度を $a'$ とすると運動方程式は

$\rho S a\cdot a' = -\rho S g x \\ a'=\frac{g}{a}x \\ \therefore \omega=\sqrt{\frac{g}{a}} \\ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{a}{g}}$

問10

f:id:hikirou:20200525232956j:plain — 2020問10

正答は(5) ABの中点をDとする。棒の重心はDに作用し、力の大きさは $mg$ 。また、BC間の水の重量(質量×g)は $\rho S l g$ でその作用点はBCの中点である。したがってC点回りのモーメントのつり合いより

$mg\times(l_1-\frac{l_1+l_2}{2})-\rho S l g \times \frac{l_2}{2}=0 \\ l_1 = (1+\frac{\rho S l_2}{m})l_2$

f:id:hikirou:20200526114815j:plain — 棒に働く力

問11

f:id:hikirou:20200525233013j:plain — 2020問11

正答は(2)。観測者が静止し、音源が速度 $v$ で近づく場合、元の振動数を $f$ 、音速を $V$ とすると、観測者が観測する振動数 $f'$ は

$f'=\frac{V}{V-v} f$

で示される。よって、

$f'=\frac{340m/s}{340m/s-\frac{90}{3.6}m/s}\times 600Hz = 647.6Hz$

よって(a)の答は(2)。次に(b)について、音源が遠ざかるときは $v$ に負の値を入れればよい。すなわち、

$f'=\frac{340m/s}{340m/s+\frac{90}{3.6}m/s}\times 600Hz = 558Hz$

よって(b)は(3)。

波の式

波には次の３要素が存在する。

速度 $v(m/s)$ ：波の進行速度
波長 $\lambda(m)$ ：波一つ当たりの長さ
振動数 $f(Hz)$ ：一秒間当たりに放出される波の数。なお、単位 $Hz$ は $1/s$ と次元が等しい。

一秒間あたりに $f$ 個の波が発生し、一つ一つの波の長さは $\lambda$ mなので、以下の関係が成り立つ。

$v=\lambda f$

f:id:hikirou:20200526114904j:plain — 振動数、波長、速度の関係

ドップラー効果

ドップラー効果は音源が近づく場合を正、遠ざかる場合を負とした際に、音源の速度 $v$ 、音速 $V$ 、元の振動数 $f$ を用いて、

$f'=\frac{V}{V-v}f$

とあらわされる。この導出を行ってみよう。 音源が近づく場合

f:id:hikirou:20200526115418j:plain — 音源が近づく時のドップラー効果

時刻 $t=0$ から $t=\Delta t$ までの動きを考える。
この間音源は $v\Delta t$ 進む。（ちなみに音源のイラストは音叉がモチーフで高校時代の恩師が良く描いていた。）
t=0で放出された波は $V\Delta t$ 進む。
この間に放出された波は長さ $(V-v)\Delta t$ となって、観測者に届く。この中には $f\Delta t$ 個の波が含まれている。
したがって観測者が観測する波の波長は

$\lambda ' = \frac{(V-v)\Delta T}{f\Delta t}=\frac{V-v}{f}$

となる。

音速Vはそのまま。
よって振動数は

$f'=\frac{V}{\lambda '}=\frac{V}{V-v}f$

音源が遠ざかる場合

f:id:hikirou:20200526120136j:plain — 音源が遠ざかる場合のドップラー効果

こちらも近づく場合と同様に考えればよい。放出された波の長さは $(V+v)\Delta t$ となるので、

$\lambda '=\frac{(V+v)\Delta t}{f\Delta t}=\frac{V+v}{f} \\ f'=\frac{V}{\lambda '}=\frac{V}{V+v}f$

問12

f:id:hikirou:20200525233032j:plain — 2020問12

正答は(2)。ピストン内の圧力は加熱前後で一定。圧力を $P_1$ とすると、ピストンに働く力のつり合いより

$mg+P_0S=P_1S$

また、加熱後の機体について気体の状態方程式より、

$P_1 S\cdot \frac{3}{2} h=nRT$

2式より $T=\frac{P_0S + mg}{nR}\cdot\frac{3}{2}h$ 。よって(2)。

f:id:hikirou:20200526120206j:plain — 加熱過程

気体の状態方程式

圧力 $P$
体積 $V$
モル数 $n$ :気体分子の個数を表す。1molあたり1 $N_A$ 個に相当。 $N_A$ はアボカドロ数で6.02×10²³ある。
（普遍）気体定数 $R$ : $8.314J/(K\cdot mol)$
絶対温度 $T$ :単位は[K]。セ氏温度℃に273を足せばよい。「温度」とは分子の熱的振動である。絶対零度、すなわち-273℃では分子の熱的振動が完全に止まっている状態を指す。

$PV=nRT$

なお、これは「理想気体」というものを仮定しており、現実の気体では完全には一致しない。

検算法（次元確認）

航空大やかつてのセンター試験のような選択式の物理の問題で難易度が低いものは選択肢の単位をみることでも絞れ得る場合がある。たとえば「長さ」を聞かれているにもかかわらず、選択肢の単位が「s(sec:秒)」ならば答えになりえない。この問題について考えてみよう。

基本単位

ここでは、基本となる単位として下のものを上げる。

長さ：m
時間：s
質量：kg
温度：K

これらを用いて各物理量を表してみよう。

力[N] 運動方程式より $ma=f$ 。よって

$N=kg\cdot m/s^2$

圧力[Pa]

$Pa=\frac{N}{m^2}=\frac{kg}{m\cdot s^2}$

エネルギー、熱量[J]

$J=N\cdot m = kg\cdot m^2/s^2$

ここで問題文を見てみる。

(2)の選択肢について

$\frac{N/m^2\cdot m^2 + kg\ cdot m/s^2}{mol\times J/mol\cdot K}\times m=\frac{N}{J/K}\times m=K$

となり、単位は確かにあっている。

(1)については(2)に平方根を付けたものなので単位は $\sqrt{K}$ となり、適当でない。

(3)については

$\frac{mol\times J/mol\cdot K}{N}\times m=m^2/K$

となり適当でない。

(4)は(1)と同じ単位となるので不適当。

(5)は(3)と同じ単位となるので不適当。

よって、計算しなくても単位が適当なのは(2)しかないのでこれによっても正答を導き出せる。

問13

f:id:hikirou:20200525233106j:plain — 2020問13

正答は(5)。

f:id:hikirou:20200526120257j:plain — 回路を流れる電流の様子

回路は対称な形をしているため、抵抗R1,R3を流れる電流は等しくなるはずである。また、R6とR7、R4とR5についても同様である。（abを中心にひっくり返してみるとわかりやすい。）抵抗R1,R3を流れる電流を $I_1$ 、抵抗R2を流れる電流を $I_2$ とする。節点cについてキルヒホッフの法則より、抵抗R4,R5を流れる電流はそれぞれ $\frac{I_2}{2}$ となる。また、節点d,eについてもキルヒホッフの法則よりR6,R7を流れる電流はそれぞれともに $I_1+\frac{I_2}{2}$ となる。

f:id:hikirou:20200526120707j:plain — 回路におけるキルヒホッフの法則の適用経路

経路I,IIについてそれぞれキルヒホッフの法則より

$112V=16\Omega \times I_1 + 16\Omega\cdot(I_1+\frac{I_2}{2}) \\ 112V = 16\Omega \times I_2 + 16 \Omega +\frac{I_2}{2}+16\Omega\times (I_1+\frac{I_2}{2})$

よって

$I_1=3A \\ I_2=2A$

全体を流れる電流は $I=2I_1+I_2=8A$ 。よって全体の消費電力は

$P=IV=112V\times 8A=896W$

よって(5)。

キルヒホッフの法則

~~そろそろ基礎事項までもいちいち解説するのが面倒になってきました。~~ こんなかんじです。

wakariyasui.sakura.ne.jp

問14

f:id:hikirou:20200525233127j:plain — 2020問14

正答は(3)。電磁誘導の問題はいくつか解き方が存在しますが、はじめにファラデー電磁誘導の法則

$V=-N\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$

を応用して解いてみましょう。これはコイルに適用するものだと出てくるが、今回の問題のような導体棒にも適用可能である。

$\phi$ :磁束
$B$ :磁束密度

であり、 $\phi=BS$ である。B一定なので、 $\Delta \phi = \Delta (BS) = B \Delta S$ となる。このSは回転運動によって導体棒が通過する面積である。

f:id:hikirou:20200526143441j:plain — 回転運動をする導体棒に働く起電力

したがって、時間 $\Delta t$ 経過したとして扇形の面積

$S=\frac{1}{2}\omega \Delta t l^2$

よって、回転運動をとる導体棒に働く誘導起電力の大きさは

$V=\frac{\Delta \phi}{\Delta t}=\frac{B\Delta S}{\Delta t} \\ =\frac{B \frac{1}{2}\omega \Delta t l^2}{\Delta t} \\ = \frac{1}{2} B\omega l^2$

ここで問題に戻る。PQもMQも磁束密度B、角速度 $\omega$ は共通であるから、それぞれの誘導起電力の大きさの比は通過する面積比と同値となる。

$\frac{V_{MQ}}{V_{PQ}}=\frac{S_1}{S_1+S_2}=\frac{\pi l^2-\pi(l-\frac{l}{2})^2}{\pi l^2} =\frac{3}{4}$

よって(3)

f:id:hikirou:20200526120759j:plain — 磁場を横切る導体の様子

問15

f:id:hikirou:20200525233141j:plain — 2020問15

正答はa:(2),b:(5)。

まず電源をONにした直後について考える。図は等電位のところを同じ色で塗り分けている。コンデンサーC1,C2は電荷がたまっていないため電圧が0、すなわち電流は流れていない。コイルは流れる電流が変化する、すなわち $\Delta \neq 0$ のときに誘導起電力が発生し、変化を小さくしようとする働きがある。電源を付けた直後は電流が流れようとするためそれを妨げる向きに誘導起電力が発生し、全体としては電流が流れなくなる。

f:id:hikirou:20200526120841j:plain — 電源をオンにした直後の回路の様子

時間が経過すると徐々に電流が増えていき一定値になる。このとき、コンデンサーに流れる電流は0。また電流値は一定のためコイルに誘導起電力は発生しない。したがって回路全体を流れる電流Iはそのまま抵抗R1,R2をとおるため、

$I=\frac{E}{R_1+R_2}=\frac{7.5V}{5\Omega}=1.5A$

となる。

f:id:hikirou:20200526120911j:plain — 十分時間が経過した後の回路の様子

よって(2).

また、コンデンサーC2の両端の電圧は抵抗R2の両端の電圧に等しく（黒線の電位と青線の電位） $1.5A\times 3.0\Omega = 4.5V$ 。よって蓄えられた電荷は

$q=CV=2.0\mu F\times 4.5V=9.0\mu C$

よって(5)

解説記事一覧

下の記事内にまとめてあります。

はじめに航空大過去問 - ひきろうの忘備録

きろうの忘備録

飛行機好きの飛行機好きによる自分のための忘備録

2020年度航空大物理

はじめに

模範解答、関連分野

解説

問7

等加速度運動

重力加速度

運動の3法則

運動エネルギーと仕事の関係

力学的エネルギー保存則

問8

運動量と力積の関係

問9

物体に働く浮力

単振動の運動方程式

問10

問11

波の式

ドップラー効果

問12

気体の状態方程式

検算法（次元確認）

問13

キルヒホッフの法則

問14

問15

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